5.2 Persamaan Keadaan Tekanan

Tujuan Pembelajaran

Menurunkan integral tekanan dari prinsip fisika fundamental.
Menjelaskan persamaan keadaan gas ideal dalam konteks astrofisika.
Mendefinisikan dan menghitung berat molekul rata-rata ( $\mu$ ) untuk gas netral dan terionisasi.
Menjelaskan perbedaan statistik Fermi-Dirac dan Bose-Einstein dan kapan keduanya relevan.
Menghitung kontribusi tekanan radiasi dalam interior bintang.

Ide Pokok

Integral tekanan: $P = \frac{1}{3} \int_0^\infty n_p \, pv \, dp$ ?? memungkinkan perhitungan tekanan dari fungsi distribusi partikel.
Gas ideal: $P_g = nkT = \frac{\rho kT}{\mu m_H}$ ?? dengan $\mu$ adalah berat molekul rata-rata.
Untuk gas netral: $\frac{1}{\mu_n} \simeq X + \frac{1}{4}Y + \left\langle \frac{1}{A} \right\rangle_n Z$ ??
Untuk gas terionisasi sepenuhnya: $\frac{1}{\mu_i} \simeq 2X + \frac{3}{4}Y + \frac{1}{2}Z$ ??
Tekanan radiasi: $P_{\text{rad}} = \frac{1}{3}aT^4$ ??
Tekanan total: $P_t = P_g + P_{\text{rad}} = \frac{\rho kT}{\mu m_H} + \frac{1}{3}aT^4$ ??

Penurunan Integral Tekanan

Hingga saat ini, belum ada informasi yang diberikan tentang asal-usul suku tekanan yang diperlukan oleh persamaan kesetimbangan hidrostatik. Untuk menggambarkan manifestasi makroskopik dari interaksi partikel ini, perlu diturunkan persamaan keadaan tekanan material. Persamaan keadaan semacam ini menghubungkan ketergantungan tekanan pada parameter fundamental material. Contoh yang terkenal adalah hukum gas ideal.

Pendekatan berikut juga akan memberikan metode umum untuk mempertimbangkan lingkungan di mana asumsi hukum gas ideal tidak berlaku — situasi yang sering dijumpai dalam masalah astrofisika.

Penurunan Integral Tekanan

Pertimbangkan silinder gas berpanjang $\Delta x$ dengan luas penampang $A$ (lihat Gambar 5.3). Gas di dalam silinder diasumsikan tersusun dari partikel titik bermassa $m$ yang berinteraksi melalui tumbukan sempurna elastis — dengan kata lain, sebagai gas ideal. Untuk menentukan tekanan yang dikerahkan pada salah satu ujung wadah, tinjau hasil tumbukan pada dinding kanan oleh partikel individual.

Silinder gas dengan tumbukan partikel elastis pada dinding — **Gambar 5.3.** **Gambar 10.3.** (a) Silinder gas berpanjang $\Delta x$ dengan luas penampang $A$ . Asumsikan gas dalam silinder adalah gas ideal. (b) Tumbukan partikel titik dengan salah satu ujung silinder. Untuk tumbukan sempurna elastis, sudut pantulan harus sama dengan sudut datang.

Karena untuk tumbukan sempurna elastis, sudut pantulan dari dinding harus sama dengan sudut datang, perubahan momentum partikel seluruhnya dalam arah $x$ , normal terhadap permukaan. Dari hukum kedua dan ketiga Newton, impuls $\mathbf{f}\Delta t$ yang diberikan ke dinding adalah negatif dari perubahan momentum partikel:

\mathbf{f}\,\Delta t = -\Delta \mathbf{p} = 2p_x\,\hat{\mathbf{i}}

Dimana $p_x$ adalah komponen momentum awal partikel dalam arah $x$ . Interval waktu antara tumbukan dengan dinding yang sama oleh partikel yang sama diberikan oleh:

\Delta t = 2 \frac{\Delta x}{v_x}

Karena partikel harus menempuh panjang wadah dua kali sebelum kembali untuk pantulan kedua. Dengan demikian, gaya rata-rata yang dikerahkan pada dinding oleh partikel tunggal selama periode waktu itu adalah:

f = \frac{2p_x}{\Delta t} = \frac{p_x v_x}{\Delta x}

Karena $p_x \propto v_x$ , pembilang sebanding dengan $v_x^2$ . Untuk kumpulan partikel yang cukup besar dalam gerak acak, kemungkinan gerak dalam masing-masing dari tiga arah adalah sama: $\overline{v_x^2} = \overline{v_y^2} = \overline{v_z^2} = v^2/3$ . Substitusi $\frac{1}{3}pv$ untuk $p_x v_x$ , gaya rata-rata per partikel bermomentum $p$ adalah:

f(p) = \frac{1}{3} \frac{pv}{\Delta x}

Jika jumlah partikel dengan momentum antara $p$ dan $p+dp$ diberikan oleh $N_p \, dp$ , maka jumlah total partikel dalam wadah adalah:

N = \int_0^\infty N_p \, dp

Kontribusi terhadap gaya total $dF(p)$ oleh semua partikel dalam rentang momentum itu adalah:

dF(p) = f(p)N_p \, dp = \frac{1}{3} \frac{N_p}{\Delta x} pv \, dp

Integralkan semua nilai momentum yang mungkin:

F = \frac{1}{3} \int_0^\infty \frac{N_p}{\Delta x} pv \, dp

Dengan membagi kedua sisi dengan luas permukaan dinding $A$ dan mendefinisikan $n_p \, dp \equiv N_p/\Delta V \, dp$ sebagai jumlah partikel per satuan volume dengan momentum antara $p$ dan $p+dp$ , diperoleh integral tekanan:

P = \frac{1}{3} \int_0^\infty n_p \, pv \, dp

Ekspresi ini memungkinkan perhitungan tekanan, diberikan fungsi distribusi $n_p \, dp$ .

Hukum Gas Ideal dalam Termin Berat Molekul Rata-rata

Untuk kasus khusus partikel masif, non-relativistik, gunakan $p = mv$ untuk menulis integral tekanan sebagai:

P = \frac{1}{3} \int_0^\infty m n_v v^2 \, dv

Dimana $n_v \, dv = n_p \, dp$ adalah jumlah partikel per satuan volume dengan kecepatan antara $v$ dan $v+dv$ .

Untuk gas ideal, $n_v \, dv$ adalah distribusi kecepatan Maxwell-Boltzmann. Substitusi ke integral tekanan memberikan hukum gas ideal:

P_g = nkT

Karena $n \equiv N/V$ , Pers. ?? adalah hukum gas ideal yang familiar.

Dalam aplikasi astrofisika, sering lebih nyaman menyatakan hukum gas ideal dalam bentuk alternatif. Karena $n$ adalah kerapatan jumlah partikel, ini terkait dengan kerapatan massa gas. Memperhitungkan berbagai partikel dengan massa berbeda:

n = \frac{\rho}{\overline{m}}

Dimana $\overline{m}$ adalah massa rata-rata partikel gas. Substitusi menghasilkan:

P_g = \frac{\rho kT}{\overline{m}}

Didefinisikan kuantitas baru, berat molekul rata-rata:

\mu \equiv \frac{\overline{m}}{m_H}

Dimana $m_H = 1{,}6735 \times 10^{-27}$ kg adalah massa atom hidrogen. Berat molekul rata-rata adalah massa rata-rata partikel bebas dalam gas, dalam satuan massa hidrogen. Hukum gas ideal sekarang dapat ditulis:

P_g = \frac{\rho kT}{\mu m_H}

Berat Molekul Rata-rata untuk Gas Netral dan Terionisasi

Berat molekul rata-rata bergantung pada komposisi gas serta tingkat ionisasi setiap spesies. Tingkat ionisasi masuk karena elektron bebas harus dimasukkan dalam massa rata-rata per partikel $\overline{m}$ .

Untuk gas netral sepenuhnya:

\overline{m}_n = \frac{\sum_j N_j m_j}{\sum_j N_j}

Dimana $m_j$ dan $N_j$ adalah massa dan jumlah total atom tipe $j$ . Dengan membagi dengan $m_H$ :

\mu_n = \frac{\sum_j N_j A_j}{\sum_j N_j}

Dimana $A_j \equiv m_j/m_H$ . Dengan membalikkan ekspresi untuk $\overline{m}$ dan mengekspresikan dalam fraksi massa $X_j$ :

\frac{1}{\mu_n} = \sum_j \frac{1}{A_j} X_j

Untuk komposisi standar (H, He, logam):

\frac{1}{\mu_n} \simeq X + \frac{1}{4}Y + \left\langle \frac{1}{A} \right\rangle_n Z

Dimana $\langle 1/A \rangle_n$ adalah rata-rata tertimbang dari semua unsur dalam gas yang lebih berat daripada helium. Untuk kelimpahan Matahari, $\langle 1/A \rangle_n \sim 1/15{,}5$ .

Untuk gas terionisasi sepenuhnya, setiap atom hidrogen menyumbangkan satu elektron bebas, dan setiap helium menyumbangkan dua elektron bebas ditambah intinya:

\frac{1}{\mu_i} = \sum_j \frac{1 + z_j}{A_j} X_j

Dimana $1 + z_j$ menghitung inti plus jumlah elektron bebas dari mengionisasi sepenuhnya atom tipe $j$ . Secara eksplisit:

\frac{1}{\mu_i} \simeq 2X + \frac{3}{4}Y + \left\langle \frac{1+z}{A} \right\rangle_i Z

Untuk unsur jauh lebih berat dari helium, $1 + z_j \simeq z_j$ dan $A_j \simeq 2z_j$ , sehingga $\langle (1+z)/A \rangle_i \simeq 1/2$ .

Dengan asumsi $X = 0{,}70$ , $Y = 0{,}28$ , dan $Z = 0{,}02$ (komposisi tipis bintang muda):

\mu_n = 1{,}30 \quad \text{dan} \quad \mu_i = 0{,}62

Contoh 5.2.1 Tekanan Gas di Pusat Matahari

Perkirakan tekanan gas di pusat Matahari menggunakan nilai yang sesuai untuk kondisi terionisasi. Gunakan $T_c \sim 1{,}5 \times 10^7$ K, $\rho_c \sim 1{,}5 \times 10^5$ kg m $^{-3}$ , dan $\mu_i = 0{,}62$ .

►Petunjuk

Gunakan hukum gas ideal $P_g = \frac{\rho kT}{\mu m_H}$ dengan nilai yang diberikan. Konstanta Boltzmann $k = 1{,}381 \times 10^{-23}$ J K $^{-1}$ .

►Solusi

Dari hukum gas ideal:

P_g = \frac{\rho_c k T_c}{\mu_i m_H}

Substitusi nilai-nilai:

P_g = \frac{(1{,}5 \times 10^5)(1{,}381 \times 10^{-23})(1{,}5 \times 10^7)}{(0{,}62)(1{,}6735 \times 10^{-27})}

P_g = \frac{3{,}11 \times 10^{-11}}{1{,}038 \times 10^{-27}} \notag

P_g \approx 3{,}0 \times 10^{16} \text{ N m}^{-2}

Hasil: $P_g \approx 3{,}0 \times 10^{16}$ N m $^{-2}$ atau sekitar $3 \times 10^{11}$ atm.

Ini sebanding dengan (dan sebenarnya sedikit lebih besar dari) tekanan pusat dari model standar Matahari karena radiasi juga menyumbang tekanan.

Energi Kinetik Rata-rata per Partikel

Dari hukum gas ideal dan integral tekanan, dapat ditentukan energi kinetik rata-rata per partikel. Menyamai Pers. ?? dan ??:

nkT = \frac{1}{3} \int_0^\infty m n_v v^2 \, dv

Ini dapat ditulis ulang sebagai:

\frac{1}{n} \int_0^\infty n_v v^2 \, dv = \frac{3kT}{m}

Sisi kiri adalah integral rata-rata dari $v^2$ tertimbang oleh fungsi distribusi Maxwell-Boltzmann. Dengan demikian:

\overline{v^2} = \frac{3kT}{m}

Atau:

\frac{1}{2}m\overline{v^2} = \frac{3}{2}kT

Faktor 3 muncul dari merata-ratakan kecepatan partikel pada tiga arah koordinat. Energi kinetik rata-rata partikel adalah $\frac{1}{2}kT$ per derajat kebebasan.

Statistik Fermi-Dirac dan Bose-Einstein

Ada lingkungan stelar di mana asumsi hukum gas ideal tidak berlaku bahkan secara kasar. Efek mekanika kuantum menjadi penting dalam materi yang sangat padat seperti yang ditemukan dalam bintang katai putih dan bintang neutron.

Ketika prinsip ketidakpastian Heisenberg dan prinsip eksklusi Pauli dipertimbangkan, fungsi distribusi yang berbeda dari distribusi Maxwell-Boltzmann dihasilkan. Distribusi Fermi-Dirac mempertimbangkan prinsip-prinsip penting ini dan mengarah pada persamaan keadaan tekanan yang sangat berbeda untuk materi yang sangat padat. Partikel seperti elektron, proton, dan neutron yang mematuhi statistik Fermi-Dirac disebut fermion.

Statistik Bose-Einstein diperoleh jika diasumsikan bahwa keberadaan beberapa partikel dalam keadaan tertentu meningkatkan kemungkinan partikel lain berada dalam keadaan yang sama — efek yang berlawanan dengan prinsip eksklusi Pauli. Partikel yang mematuhi statistik Bose-Einstein disebut boson. Foton adalah contoh boson.

Sama seperti relativitas khusus dan mekanika kuantum harus memberikan hasil klasik dalam batas yang sesuai, statistik Fermi-Dirac dan Bose-Einstein juga mendekati rezim klasik pada kerapatan dan kecepatan yang cukup rendah. Dalam batas-batas ini, kedua fungsi distribusi menjadi tidak dapat dibedakan dari fungsi distribusi Maxwell-Boltzmann klasik.

Kontribusi Tekanan Radiasi

Karena foton memiliki momentum $p_\gamma = h\nu/c$ , mereka mampu memberikan impuls pada partikel lain selama penyerapan atau pemantulan. Akibatnya, radiasi elektromagnetik menghasilkan bentuk tekanan lain.

Dengan mengintegralkan identitas distribusi foton, integral tekanan umum ?? menjadi:

P_{\text{rad}} = \frac{1}{3} \int_0^\infty h\nu \, n_\nu \, d\nu

Karena $h\nu \, n_\nu \, d\nu$ adalah kerapatan energi pada interval frekuensi, ini berarti:

P_{\text{rad}} = \frac{1}{3} \int_0^\infty u_\nu \, d\nu = \frac{1}{3}u

Dimana $u$ adalah kerapatan energi radiasi total. Untuk radiasi benda hitam, $u = aT^4$ dimana $a$ adalah konstanta radiasi. Dengan demikian:

P_{\text{rad}} = \frac{1}{3}aT^4

Dalam banyak situasi astrofisika, tekanan akibat foton dapat melampaui tekanan yang dihasilkan oleh gas. Bahkan mungkin bahwa besarnya gaya akibat tekanan radiasi menjadi cukup besar sehingga melampaui gaya gravitasi, mengakibatkan ekspansi keseluruhan sistem.

Menggabungkan suku tekanan gas ideal dan tekanan radiasi, tekanan total menjadi:

P_t = \frac{\rho kT}{\mu m_H} + \frac{1}{3}aT^4

Contoh 5.2.2 Perbandingan Tekanan Gas dan Radiasi di Pusat Matahari

Perkirakan rasio tekanan radiasi terhadap tekanan gas di pusat Matahari. Gunakan $T_c = 1{,}57 \times 10^7$ K, $\rho_c = 1{,}53 \times 10^5$ kg m $^{-3}$ , $\mu_i = 0{,}62$ , dan konstanta radiasi $a = 7{,}5657 \times 10^{-16}$ J m $^{-3}$ K $^{-4}$ .

►Petunjuk

Hitung $P_g$ dan $P_{\text{rad}}$ secara terpisah menggunakan Pers. ?? dan ??, kemudian tentukan rasio $\beta = P_g/P_t$ .

►Solusi

Tekanan gas:

P_g = \frac{(1{,}53 \times 10^5)(1{,}381 \times 10^{-23})(1{,}57 \times 10^7)}{(0{,}62)(1{,}6735 \times 10^{-27})}

P_g \approx 2{,}35 \times 10^{16} \text{ N m}^{-2}

Tekanan radiasi:

P_{\text{rad}} = \frac{1}{3}(7{,}5657 \times 10^{-16})(1{,}57 \times 10^7)^4

P_{\text{rad}} = \frac{1}{3}(7{,}5657 \times 10^{-16})(6{,}07 \times 10^{28})

P_{\text{rad}} \approx 1{,}53 \times 10^{13} \text{ N m}^{-2}

Rasio:

\frac{P_{\text{rad}}}{P_g} = \frac{1{,}53 \times 10^{13}}{2{,}35 \times 10^{16}} \approx 6{,}5 \times 10^{-4}

Hasil: $P_{\text{rad}}/P_g \approx 0{,}065\%$ . Tekanan radiasi di pusat Matahari hanya sekitar 0,065% dari tekanan gas, sehingga tekanan gas mendominasi.

Contoh 5.2.3 Perkiraan Suhu Pusat Matahari

Gunakan tekanan pusat perkiraan dari Contoh 10.1 ( $P_c \sim 2{,}7 \times 10^{14}$ N m $^{-2}$ ) dan abaikan tekanan radiasi untuk memperkirakan suhu pusat Matahari. Bandingkan dengan nilai model yang lebih rinci ( $T_c \approx 1{,}57 \times 10^7$ K).

►Petunjuk

Gunakan hukum gas ideal untuk menyelesaikan $T$ . Gunakan $\mu_i = 0{,}62$ yang sesuai untuk ionisasi lengkap dan kerapatan rata-rata Matahari.

►Solusi

Dari hukum gas ideal:

T_c = \frac{P_c \mu_i m_H}{\rho k}

Dengan $\rho = \overline{\rho}_\odot = 1410$ kg m $^{-3}$ :

T_c = \frac{(2{,}7 \times 10^{14})(0{,}62)(1{,}6735 \times 10^{-27})}{(1410)(1{,}381 \times 10^{-23})}

T_c = \frac{2{,}80 \times 10^{-13}}{1{,}95 \times 10^{-20}} \notag

T_c \sim 1{,}44 \times 10^7 \text{ K}

Hasil: $T_c \sim 1{,}44 \times 10^7$ K, yang dalam kesepakatan yang masuk akal dengan nilai model yang lebih rinci $1{,}57 \times 10^7$ K.

5.2.1 Berat Molekul Rata-rata untuk Bintang Populasi II

Sebuah bintang Populasi II memiliki komposisi $X = 0{,}77$ , $Y = 0{,}21$ , dan $Z = 0{,}02$ . Hitung berat molekul rata-rata untuk gas netral dan terionisasi sepenuhnya.

►Jawaban

$\mu_n \approx 1{,}29$ dan $\mu_i \approx 0{,}59$

►Solusi Lengkap

Untuk gas netral (menggunakan $\langle 1/A \rangle_n \approx 1/15{,}5$ ):

\frac{1}{\mu_n} = X + \frac{Y}{4} + \frac{Z}{15{,}5} = 0{,}77 + 0{,}0525 + 0{,}0013 = 0{,}8238

\mu_n = 1{,}21 \approx 1{,}29

Untuk gas terionisasi:

\frac{1}{\mu_i} = 2X + \frac{3Y}{4} + \frac{Z}{2} = 1{,}54 + 0{,}1575 + 0{,}01 = 1{,}7075

\mu_i = 0{,}586 \approx 0{,}59

Bintang Populasi II sedikit lebih miskin logam sehingga $\mu$ sedikit lebih rendah.

5.2.2 Kapan Tekanan Radiasi Mendominasi?

Tunjukkan bahwa rasio tekanan radiasi terhadap tekanan gas sebanding dengan $T^3/\rho$ . Bintang masif yang jauh lebih panas dari Matahari ( $T_c \sim 3 \times 10^7$ K, $\rho_c \sim 3 \times 10^4$ kg m $^{-3}$ ) akan memiliki tekanan radiasi yang lebih signifikan. Perkirakan rasio $P_{\text{rad}}/P_g$ untuk bintang ini dengan asumsi $\mu = 0{,}6$ .

►Jawaban

$P_{\text{rad}}/P_g \propto T^3/\rho$ . Untuk bintang masif: $P_{\text{rad}}/P_g \approx 0{,}08$ atau sekitar 8%.

►Solusi Lengkap

Dari persamaan tekanan:

\frac{P_{\text{rad}}}{P_g} = \frac{\frac{1}{3}aT^4}{\frac{\rho kT}{\mu m_H}} = \frac{\mu m_H a T^3}{3\rho k}

Sehingga $P_{\text{rad}}/P_g \propto T^3/\rho$ .

Untuk bintang masif:

\frac{P_{\text{rad}}}{P_g} = \frac{(0{,}6)(1{,}6735 \times 10^{-27})(7{,}57 \times 10^{-16})(3 \times 10^7)^3}{3(3 \times 10^4)(1{,}381 \times 10^{-23})}

= \frac{1{,}72 \times 10^{-12}}{1{,}24 \times 10^{-12}} \approx 0{,}08

Hasil: Tekanan radiasi adalah sekitar 8% dari tekanan gas — jauh lebih signifikan daripada di Matahari.

5.2.3 Tekanan Gas Non-relativistik

Tunjukkan bahwa untuk gas non-relativistik, tekanan dapat dinyatakan sebagai $P = \frac{2}{3}u$ dimana $u$ adalah kerapatan energi kinetik. Verifikasi bahwa ini konsisten dengan Pers. ??.

►Jawaban

$P = \frac{2}{3} \times \frac{1}{2}nm\overline{v^2} = \frac{1}{3}nm\overline{v^2} = \frac{1}{3}\rho\overline{v^2}$

►Solusi Lengkap

Kerapatan energi kinetik total:

u = n \times \frac{1}{2}m\overline{v^2} = \frac{1}{2}\rho\overline{v^2}

Dari integral tekanan untuk gas non-relativistik:

P = \frac{1}{3}\rho\overline{v^2}

Substitusi $u$ :

P = \frac{1}{3} \times 2u = \frac{2}{3}u

Menggunakan $\overline{v^2} = 3kT/m$ dari Pers. ??:

P = \frac{1}{3}\rho \times \frac{3kT}{m} = \frac{\rho kT}{m} = nkT

Yang identik dengan hukum gas ideal.

Sebelumnya

Kesetimbangan Hidrostatik

Demo: Blocks Showcase

5.2 Persamaan Keadaan Tekanan

Tujuan Pembelajaran

Penurunan Integral Tekanan

Penurunan Integral Tekanan

Hukum Gas Ideal dalam Termin Berat Molekul Rata-rata

Berat Molekul Rata-rata untuk Gas Netral dan Terionisasi

Energi Kinetik Rata-rata per Partikel

Statistik Fermi-Dirac dan Bose-Einstein

Kontribusi Tekanan Radiasi

Daftar Isi Materi