2.8 1.8. Lingkaran dan Elips

Tujuan Pembelajaran

Mendefinisikan lingkaran dan elips secara geometris
Menurunkan persamaan kartesius dan polar untuk lingkaran dan elips
Menjelaskan parameter elips: sumbu semi-mayor $a$ , sumbu semi-minor $b$ , eksentrisitas $e$
Mengaplikasikan persamaan elips untuk orbit planet

Ide Pokok

Lingkaran: tempat kedudukan titik-titik dengan jarak konstan $r$ dari pusat
Persamaan lingkaran: $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$ dengan pusat $(a,b)$
Elips: tempat kedudukan titik-titik dengan jumlah jarak ke dua fokus konstan ( $=2a$ )
Parameter elips: $a$ = semi-major axis, $b$ = semi-minor axis, $c$ = jarak fokus, $e = c/a$ = eksentrisitas
Persamaan kartesius elips: $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$
Persamaan polar elips (fokus di pusat): $r = \frac{a(1-e^2)}{1+e\cos\theta}$

Lingkaran

Lingkaran adalah bentuk geometris yang terdiri dari semua titik dalam bidang yang memiliki jarak konstan (radius $r$ ) dari titik tertentu (pusat $O$ ).

Persamaan Kartesius Lingkaran

Untuk lingkaran dengan pusat di $(a, b)$ dan radius $r$ :

\boxed{(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2}

Kasus khusus (pusat di origin):

x^2 + y^2 = r^2

Keliling dan Luas

Keliling: $C = 2\pi r$
Luas: $A = \pi r^2$

Elips

Elips adalah kurva bidang di sekitar dua titik fokus, sehingga untuk semua titik pada kurva, jumlah kedua jarak ke titik fokus adalah konstan.

Definisi matematis:

\boxed{|PF_1| + |PF_2| = 2a}

di mana $2a$ adalah panjang sumbu mayor (jarak terpanjang melalui kedua fokus).

Parameter Elips

Parameter	Simbol	Definisi
Sumbu semi-mayor	$a$	Setengah sumbu terpanjang
Sumbu semi-minor	$b$	Setengah sumbu terpendek
Jarak fokus	$c$	Jarak dari pusat ke fokus
Eksentrisitas	$e$	$e = c/a$
Semi-latus rectum	$p$	$p = b^2/a$

Hubungan antar parameter:

c^2 = a^2 - b^2 \quad \Rightarrow \quad b^2 = a^2(1 - e^2)

\boxed{e = \frac{c}{a} = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}}

Rentang eksentrisitas untuk elips: $0 < e < 1$

Persamaan Kartesius Elips

Untuk elips dengan pusat di origin dan sumbu mayor sejajar sumbu- $x$ :

\boxed{\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1}

Pusat di $(x_0, y_0)$ :

\boxed{\frac{(x - x_0)^2}{a^2} + \frac{(y - y_0)^2}{b^2} = 1}

Persamaan Polar Elips

Dengan satu fokus di origin (koordinat polar):

\boxed{r = \frac{a(1 - e^2)}{1 + e\cos\theta} = \frac{p}{1 + e\cos\theta}}

di mana:

$r$ = jarak dari fokus ke titik pada elips
$\theta$ = anomali sejati (sudut dari perihelion)
$p = a(1 - e^2)$ = semi-latus rectum

Diagram elemen orbit elips menunjukkan perihelion, aphelion, anomali sejati theta, dan jarak r dalam koordinat polar dengan fokus di pusat Matahari — **Gambar 2.28.** **Gambar 1.29.** Elemen orbit elips dalam koordinat polar dengan fokus di pusat.

Contoh 2.8.1 Menghitung Eksentrisitas Orbit Planet

Orbit Mars memiliki jarak perihelion (terdekat ke Matahari) $q = 1{,}38$ SA dan jarak aphelion (terjauh dari Matahari) $Q = 1{,}67$ SA. Hitung eksentrisitas orbit Mars.

►Petunjuk

Gunakan hubungan: perihelion $= a(1-e)$ , aphelion $= a(1+e)$ . Jumlahnya $= 2a$ , selisihnya $= 2ae$ .

►Solusi

Dari definisi:

Perihelion: $q = a(1 - e) = 1{,}38$ SA
Aphelion: $Q = a(1 + e) = 1{,}67$ SA

Menjumlahkan:

q + Q = 2a = 1{,}38 + 1{,}67 = 3{,}05

a = 1{,}525 \text{ SA}

Selisih:

Q - q = 2ae = 1{,}67 - 1{,}38 = 0{,}29

ae = 0{,}145

Eksentrisitas:

e = \frac{ae}{a} = \frac{0{,}145}{1{,}525} \approx 0{,}095

Hasil: Eksentrisitas orbit Mars adalah $e \approx 0{,}095$ (atau $e \approx 0{,}09$ ).

Contoh 2.8.2 Persamaan Polar Orbit Planet

Tentukan persamaan polar orbit Bumi yang mengelilingi Matahari, dalam satuan SA. Gunakan $a = 1$ SA dan $e = 0{,}017$ .

►Petunjuk

Gunakan persamaan polar elips: $r = \frac{a(1-e^2)}{1+e\cos\theta}$ .

►Solusi

Dari Pers. ??:

r = \frac{a(1 - e^2)}{1 + e\cos\theta}

Dengan $a = 1$ SA dan $e = 0{,}017$ :

1 - e^2 = 1 - (0{,}017)^2 \approx 0{,}9997

\boxed{r = \frac{0{,}9997}{1 + 0{,}017\cos\theta}} \text{ SA}

Interpretasi:

Di perihelion ( $\theta = 0°$ ): $r = \frac{0{,}9997}{1{,}017} \approx 0{,}983$ SA
Di aphelion ( $\theta = 180°$ ): $r = \frac{0{,}9997}{0{,}983} \approx 1{,}017$ SA
Variasi jarak: sekitar $3{,}4\%$ dari nilai rata-rata

Quiz for subchapter 32

5 soal

2.8.1 Definisi dan Parameter Elips

Jelaskan definisi elips berdasarkan dua fokus, dan sebutkan serta definisikan tiga parameter utama elips: $a$ , $b$ , dan $e$ .

►Jawaban

Definisi elips: tempat kedudukan titik-titik dengan jumlah jarak ke dua fokus konstan ( $=2a$ ). Parameter: $a$ = semi-major axis, $b$ = semi-minor axis, $e = c/a$ = eksentrisitas.

►Solusi Lengkap

Definisi Elips:

Elips adalah himpunan semua titik $P$ dalam bidang sedemikian sehingga jumlah jarak dari $P$ ke dua titik tetap (fokus $F_1$ dan $F_2$ ) adalah konstan:

|PF_1| + |PF_2| = 2a

Parameter Utama:

Sumbu semi-mayor ( $a$ ):

Setengah dari jarak terpanjang melalui kedua fokus
Jarak dari pusat ke titik terjauh pada elips sepanjang sumbu mayor

Sumbu semi-minor ( $b$ ):

Setengah dari jarak terpendek melalui pusat, tegak lurus sumbu mayor
Hubungan: $b^2 = a^2 - c^2 = a^2(1 - e^2)$

Eksentrisitas ( $e$ ):

$e = c/a$ di mana $c$ adalah jarak dari pusat ke fokus
Mengukur “lonjongness” elips ( $0 \leq e < 1$ )
$e = 0$ : lingkaran, $e \to 1$ : elips sangat lonjong

2.8.2 Perhitungan Parameter Orbit

Sebuah planet memiliki jarak perihelion $0{,}59$ SA dan jarak aphelion $1{,}02$ SA. Hitung: (a) sumbu semi-mayor, (b) eksentrisitas, dan (c) sumbu semi-minor orbit.

►Jawaban

(a) $a = 0{,}805$ SA, (b) $e = 0{,}267$ , (c) $b = 0{,}776$ SA.

►Solusi Lengkap

(a) Sumbu semi-mayor:

2a = q + Q = 0{,}59 + 1{,}02 = 1{,}61

a = 0{,}805 \text{ SA}

(b) Eksentrisitas:

q = a(1 - e) \Rightarrow 0{,}59 = 0{,}805(1 - e)

1 - e = \frac{0{,}59}{0{,}805} \approx 0{,}733

e \approx 0{,}267

Verifikasi dengan aphelion:

Q = a(1 + e) = 0{,}805(1{,}267) \approx 1{,}02 \checkmark

(c) Sumbu semi-minor:

b^2 = a^2(1 - e^2) = (0{,}805)^2(1 - 0{,}267^2)

b^2 = 0{,}648 \times 0{,}929 \approx 0{,}602

b \approx 0{,}776 \text{ SA}

Hasil:

$a = 0{,}805$ SA
$e \approx 0{,}267$
$b \approx 0{,}776$ SA

Sebelumnya

1.7. Geometri Orbit: Irisan Kerucut

Berikutnya

1.9. Parabola dan Hiperbola

Demo: Blocks Showcase