5.1 Kesetimbangan Hidrostatik

Tujuan Pembelajaran

1. Menjelaskan mengapa bintang memerlukan kekuatan penahan untuk melawan gravitasi agar tidak runtuh.
2. Mendefinisikan konsep kesetimbangan hidrostatik dan menurunkan persamaan dasarnya.
3. Menghitung tekanan pusat bintang menggunakan pendekatan orde-pertama.
4. Menjelaskan hubungan antara massa interior, kerapatan, dan radius dalam struktur bintang.
5. Menerapkan persamaan konservasi massa untuk memahami distribusi massa dalam bintang.

Penentuan Struktur Internal Bintang

Setelah mempelajari spektrum bintang dan atmosfernya dalam bab-bab sebelumnya, kita kini beralih ke pertanyaan yang lebih fundamental: bagaimana struktur bagian dalam bintang? Analisis cahaya yang dikumpulkan teleskop memungkinkan astronom menentukan suhu efektif, luminositas, dan komposisi permukaan. Namun, dengan pengecualian deteksi neutrino dari Matahari, tidak ada cara langsung untuk mengamati daerah pusat bintang.

Untuk menyimpulkan struktur internal bintang yang terperinci, diperlukan model komputer yang memenuhi semua hukum fisika yang diketahui dan pada akhirnya sesuai dengan fitur permukaan yang dapat diamati. Meskipun sebagian besar landasan teori struktur bintang dipahami pada paruh pertama abad kedua puluh, baru pada tahun 1960-an komputer yang cukup cepat tersedia untuk melakukan semua perhitungan yang diperlukan. Keberhasilan pemodelan komputer struktur dan evolusi bintang merupakan salah satu pencapaian terbesar astrofisika teoretis.

Bintang adalah objek dinamis yang berubah, biasanya dengan laju yang sangat lambat menurut standar manusia. Di Matahari, energi sebesar 3{,}839 \times 10^{26} J dipancarkan setiap detik. Karena bintang tidak memiliki persediaan energi yang tak terbatas, mereka pada akhirnya akan menggunakan cadangan mereka dan mati. Evolusi bintang adalah hasil dari pertempuran terus-menerus melawan tarikan gravitasi yang tak kenal lelah.

Penurunan Persamaan Kesetimbangan Hidrostatik

Gaya gravitasi selalu bersifat tarik-menarik, yang menyiratkan bahwa kekuatan penahan harus ada jika bintang ingin menghindari runtuh. Kekuatan ini disediakan oleh tekanan. Untuk menghitung bagaimana tekanan harus bervariasi dengan kedalaman, pertimbangkan silinder bermassa dm yang alasnya terletak pada jarak r dari pusat bintang bersimetri bola (lihat Gambar 5.1). Luas penampang atas dan bawah silinder masing-masing A dan tinggi silinder dr.

Gaya-gaya yang bekerja pada silinder adalah gravitasi dan gaya tekanan, yang selalu normal terhadap permukaan. Menggunakan hukum kedua Newton \mathbf{F} = m\mathbf{a}, diperoleh:

Dimana F_g < 0 adalah gaya gravitasi yang diarahkan ke dalam dan F_{P,t} serta F_{P,b} adalah gaya tekanan pada bagian atas dan bawah silinder. Gaya tekanan pada sisi silinder saling meniadakan.

Gaya tekanan pada bagian atas diarahkan ke pusat (F_{P,t} < 0), sedangkan gaya pada bagian bawah diarahkan ke luar (F_{P,b} > 0). Dengan memperhitungkan perubahan gaya tekanan dF_P akibat perubahan r, diperoleh:

Substitusi ke persamaan sebelumnya menghasilkan:

Gaya gravitasi pada massa kecil dm pada jarak r dari pusat massa bersimetri bola adalah:

Dimana M_r adalah massa di dalam bola berjari-jari r, sering disebut massa interior. Kontribusi massa kulit bola di luar r terhadap gaya gravitasi adalah nol.

Tekanan didefinisikan sebagai gaya per satuan luas: P \equiv F/A. Dengan memperhitungkan perbedaan tekanan dP antara bagian atas dan bawah, diperoleh:

Substitusi Pers. ?? dan ?? ke ??, dengan massa dm = \rho A \, dr:

Dengan membagi dengan volume silinder A \, dr:

Ini adalah persamaan untuk gerak radial silinder dengan asumsi simetri bola.

Jika diasumsikan bintang bersifat statis, maka percepatan harus nol. Dalam kasus ini, Pers. ?? direduksi menjadi:

Dimana g \equiv GM_r/r^2 adalah percepatan gravitasi lokal pada radius r. Persamaan ??, kondisi kesetimbangan hidrostatik, merupakan salah satu persamaan fundamental struktur bintang untuk objek bersimetri bola dengan asumsi percepatan dapat diabaikan.

Persamaan ini dengan jelas menunjukkan bahwa agar bintang bersifat statis, gradien tekanan dP/dr harus ada untuk melawan gaya gravitasi. Bukan tekanan yang menahan bintang, melainkan perubahan tekanan dengan jari-jari. Selain itu, tekanan harus menurun dengan bertambahnya jari-jari; tekanan di bagian dalam harus lebih besar daripada di dekat permukaan.

Untuk memperoleh nilai yang lebih akurat, diperlukan integrasi persamaan kesetimbangan hidrostatik dari permukaan ke pusat, dengan memperhitungkan perubahan massa interior M_r pada setiap titik bersama dengan variasi kerapatan dengan jari-jari \rho(r):

Pelaksanaan integrasi memerlukan bentuk fungsional M_r dan \rho. Sayangnya, ekspresi eksplisit seperti itu tidak tersedia, yang menyiratkan bahwa hubungan lebih lanjut antara besaran-besaran tersebut harus dikembangkan.

Persamaan Konservasi Massa

Hubungan kedua yang melibatkan massa, jari-jari, dan kerapatan juga penting. Pertimbangkan kulit bola bersimetri bola bermassa dM_r dan ketebalan dr, terletak pada jarak r dari pusat (lihat Gambar 5.2).

Dengan mengasumsikan kulit cukup tipis (dr \ll r), volume kulit adalah dV \approx 4\pi r^2 \, dr. Jika kerapatan lokal gas adalah \rho, massa kulit diberikan oleh:

Menulis ulang, diperoleh persamaan konservasi massa:

Persamaan ?? menentukan bagaimana massa interior bintang harus berubah dengan jarak dari pusat. Ini adalah persamaan kedua fundamental struktur bintang.

Persamaan kesetimbangan hidrostatik ?? dan persamaan konservasi massa ?? membentuk dasar mekanis struktur bintang. Namun, untuk menyelesaikan sistem ini, informasi tambahan tentang keadaan materi (persamaan keadaan) dan sumber energi diperlukan, yang akan dibahas dalam subbab berikutnya.