Simulasi Astronomi

Irisan kerucut dari lingkaran sampai hiperbola: hukum Kepler, sapuan luas yang sama, dan vis-viva.

Cincin Einstein, citra ganda, busur, dan perbesaran terhadap parameter tumbukan.

Planisfer datar yang dapat diputar, dengan zenit di pusat dan horizon di tepi.

Elips paralaks, definisi parsec, dan pengaruh lintang ekliptika pada lintasan semu.

Diagram horizon untuk gerak semu harian dan tahunan Matahari.

Selidiki pola angka delapan Matahari dengan mengubah kemiringan sumbu, eksentrisitas, dan bujur perihelion delapan planet.

Asensio rekta dan deklinasi pada bola langit, dengan label ekliptika dan kutub.

Waktu sideris dan RA menentukan sudut jam bintang pada bola langit tiga dimensi.

Ikuti bintang yang sama pada bola langit dan diagram horizon; uji kapan ia terbit, terbenam, atau selalu tampak.

Seberapa besar atmosfer mengangkat benda langit terhadap ketinggian (rumus Bennett, hukum tan z, penelusuran sinar), mengapa Matahari terbenam tampak pipih, dan bagaimana refraksi memperpanjang siang hari.

Bandingkan koordinat ekuatorial, ekliptika, dan galaksi beserta lingkaran besar dan kutubnya.

Segitiga bola interaktif dengan aturan kosinus, sinus, dan empat-bagian, ekses bola, pemecah untuk semua kasus (termasuk kasus ambigu SSA), serta segitiga astronomis kutub–zenit–bintang.

Kutub langit mengelilingi kutub ekliptika. Bandingkan ekuator sekarang dengan ekuator J2000, dari luar atau dari dalam bola, dengan nutasi yang diperbesar agar goyangannya terbaca.

Jam matahari horizontal, vertikal, dan ekuatorial dengan bayangan gnomon menurut tanggal, waktu, dan lintang.

Aberasi tahunan (20,5″) dan harian (0,32″ cos φ) dengan ekliptika yang miring: elips tiap bintang dalam α/δ, γ Draconis milik Bradley, beda fase terhadap paralaks, hingga rezim relativistik.

Kubah langit malam nyata yang dapat diputar, berisi bintang kasatmata, rasi, Matahari, Bulan, dan planet.

Place a star on the horizon sphere and read its azimuth and altitude arcs.

Drag a point on a world map and see its antipode, directly opposite through a transparent globe.

See the Big Dipper's seven stars at their true distances: the familiar pattern is only a projection onto the celestial sphere. Rotate the view to reveal the depth.

Hours of daylight per day at any latitude, with a draggable date and a globe showing the terminator.

Click a world map to pick a place, then change the date and UTC time to see the sunlit region and the day length there.

Watch the Big Dipper, Little Dipper and Cassiopeia turn around Polaris as you change the date and time for a 41° N observer.

Drag Earth around its orbit with a fixed 23.4° axis and compare the sunlight angle and spread at a chosen latitude and date.

Change the date, latitude and star (Vega, Sirius or your own RA and Dec) to find when it first rises just before morning twilight.

Change latitude on a draggable celestial sphere to see where the equator and solstice circles sit above the horizon and how high each culminates.

Drag a point over a globe and read its latitude and longitude, drawn as arcs from the equator and the Greenwich meridian.

Set latitude and declination to see an object's diurnal path and its altitude at upper and lower transit, with the pole standing at altitude φ.

Slide Earth's axial tilt from 0° to 180° to see how the spin axis leans away from the normal to the orbital plane.

Step the Sun along the ecliptic through a 365-day year from March 21, viewed from outside or inside the celestial sphere.

Compare solar and sidereal time as Earth rotates and orbits, using a 365-day or a 365.25-day year.

See the Sun's daily path across an observer's horizon dome and how it shifts with latitude and through the year.

Watch parallel sunlight strike Earth through the year and see which latitudes receive the most direct rays.

Step through a year of campus photographs taken near solar transit beside a 40.8° N horizon diagram of the Sun's noon altitude.

Watch the Sun move through twelve zodiac constellations across the year on a draggable celestial sphere.

Bandingkan bulan sideris, sinodis, drakonis, dan anomalistis melalui orbit 3-D, presesi simpul dan perigeum, serta musim gerhana. Pilih skala ilustratif atau fisik.

Lacak Matahari terhadap simpul orbit Bulan: tiap lunasi Matahari bergeser 30,7°, lebih kecil dari lebar zona gerhana, sehingga setiap musim pasti memuat gerhana Matahari.

Bandingkan N lunasi dengan bulan drakonik, anomalistik, dan tahun; lihat sisa pergeseran simpul tiap siklus serta deret gamma yang lahir dan berakhir di tepi zona gerhana.

Semua gerhana 2000 SM – 3000 M dalam satu kisi: kolom adalah deret Saros, baris adalah deret Inex. Pilih dua gerhana untuk menguraikan selangnya menjadi a·Inex + b·Saros.

Move an eye around a lit basketball to see why the Moon shows phases.

Browse a year-by-month table of solar and lunar eclipses from 2015 to 2044, with date, Saros number, magnitude and visibility on hover.

Scrub through a year and watch a hypothetical full Moon's declination change as the Sun and Moon move on a rotating celestial sphere.

Pick any of the eight named lunar phases on a photographic Moon, or animate through them, to learn waxing and waning.

Drag the Moon around its orbit to link its phase from Earth to where it sits in an observer's sky at a given local time.

Hide the sunlight direction, the Moon's position or its appearance, work out the missing piece, then reveal the answer.

Reveal the phase-determination steps one at a time, from Sun bisector to Earth-Moon bisector, to work out the Moon's phase.

Rotate a view of the Moon's tilted orbit against the ecliptic to see its nodes and how far the Moon sits above or below the plane.

Compare the same sunlit Moon as seen from Earth, from the Sun and from a movable point in space as it orbits.

Drag two bodies around a Sun to see how each looks in phase from the other; bring them close and one becomes a moon.

Move the Sun and Moon among eight positions on the celestial equator to tie the Moon's phase to its place in the sky at each time of day.

Drag Earth and Moon near a large Sun and see the penumbra and umbra each one casts.

Animate one sidereal day and one solar day from solar noon to see why the solar day is about four minutes longer.

Move the Moon, add the Sun or Earth's rotation and show gravity vectors to see an exaggerated equilibrium tidal bulge.

Tonjolan pasang surut mendahului Bulan: rotasi Bumi melambat, Bulan menjauh 3,83 cm/tahun, momentum sudut kekal dan energi terdisipasi. Riwayat jarak, panjang hari dan bulan dengan data geologi, keadaan akhir sinkron ganda (553.800 km, 47 hari), dan kalkulator waktu penguncian pasang surut.

Lensa titik dan biner: kurva kritis, kaustik, kurva cahaya dan pergeseran astrometrik, peta magnifikasi, serta preset peristiwa nyata OGLE.

Bangun model planet berlapis dengan kerapatan konstan, bandingkan C/MR², g(r), P(r) dan tekanan pusat dengan nilai pengamatan Bumi, Bulan, Mars, Merkurius, Venus, Jupiter dan Saturnus, lalu selesaikan soal klasik model dua lapis: inti dan mantel dari M, R dan C/MR².

Kesetimbangan hidrostatik, hukum barometrik P = P₀e^(−z/H), dan profil suhu, tekanan, serta kerapatan untuk Bumi, Mars, Venus, Titan, Jupiter, Saturnus, dan Neptunus. Bandingkan tinggi skala antardunia dan uji kestabilan konveksi terhadap laju adiabatik kering g/c_p.

Oposisi, konjungsi, kuadratur, dan elongasi sebuah planet dilihat dari planet lain, dengan diagram orbit, jalur zodiak, dan garis waktu peristiwa.

Watch a star's wobble around the barycentre trace out a radial-velocity sine wave as its planet orbits.

Tick planets and watch the Sun wobble about the system barycentre.

Drive a camera through falling snow: nearby flakes sweep quickly away from the center of view while distant ones barely move.

Drag along a log-log curve of formation temperature against distance from the Sun and compare the values at the nine planets.

Compare a hammer thrower and hammer with a star and planet as each pair turns about a shared balance point.

Move a pulsar in a circular orbit and watch the interval between pulse arrivals at Earth change.

Adjust planet and star masses, separation, eccentricity and inclination, and compare a radial-velocity curve with optional noisy measurements.

Follow Earth and Mars around the Sun and watch Mars's apparent direction reverse against the background stars.

Compare the nine bodies on a bar chart of semi-major axis, period, mass, radius, satellite count or density.

Hitung suhu kesetimbangan planet dari luminositas bintang, jarak, dan albedo, lalu lihat efek rumah kaca berlapis dan zona layak huni.

Distribusi kecepatan Maxwell–Boltzmann, aturan v_esc > 6 v_rms, dan lepas Jeans di eksobase: mengapa Titan menyimpan N₂ sedangkan Bulan tidak.

Batas Roche kaku, dua bola, dan fluida dibandingkan dengan cincin dan bulan dalam Saturnus, Jupiter, Uranus, Neptunus, Bumi, dan Mars dalam skala sebenarnya, serta tumpukan puing yang tercabik gaya pasang surut seperti komet Shoemaker–Levy 9.

Set star and planet properties and watch the planet cross the stellar disk while the light curve dips.

Drag Earth and Venus around their orbits to see Venus's phase and illuminated fraction change.

Jelajahi potensial efektif dalam kerangka berotasi, kurva kecepatan nol, kelima titik Lagrange, dan orbit kecebong maupun tapal kuda di sekitar L4 dan L5.

Resonansi gerak rata-rata: geometri konjungsi untuk rasio periode p:q, celah Kirkwood dari integrasi partikel uji Matahari–Jupiter, resonansi Laplace Io–Europa–Ganymede, dan librasi sudut resonan Neptunus–Pluto 3:2.

Hover a period-versus-radius curve for circular Earth orbits to read radius, period and speed at Newton's cannon, the ISS, GPS, geosynchronous orbit and the Moon.

Adjust an ellipse's semimajor axis a and focal distance c and watch the eccentricity e = c/a update.

Choose a multiplier for each mass and for the separation and read the new gravitational force as an exact multiple of the starting force.

Enter two masses and their separation to compute the gravitational force and each body's acceleration, starting from an apple and Earth.

Enter an orbital period or a semimajor axis and get the other from P² = a³, or click the graph to choose an orbit.

Dua pembakaran tangensial antar orbit lingkaran, sudut fase dan jendela peluncuran, transfer bi-eliptik, serta manuver gravity assist dalam kerangka planet dan Matahari.

Persamaan Tsiolkovsky dengan roket beranimasi, rugi gravitasi dan T/W pada pendakian vertikal, mengapa satu tahap tidak cukup mencapai orbit dan massa landas per ton muatan untuk 1–4 tahap, serta tambahan kecepatan dari rotasi Bumi, inklinasi minimum, dan biaya perubahan bidang orbit ke GEO.

Follow Mars on an epicycle riding an eccentric deferent, with an equant, in an Earth-centered Ptolemaic model.

Trace the paths of two orbiting bodies and recenter the view on any of the three to see how apparent loops arise.

Follow Venus on an epicycle whose center stays on the Sun's line and see the phase this Ptolemaic model gives it.

Choose an inner or outer planet and enter its sidereal or synodic period to calculate the other.

Dari elemen orbit planet atau komet ke bujur–lintang ekliptika heliosentris dan geosentris (plus α, δ): kerangka ekliptika 3-D, peta langit dengan simpul retrograd, dan λ geosentris terhadap waktu.

Rain buckets as pixels: collect the rain, shift the buckets down a conveyor and count each one to see how a CCD reads out an image.

Drag a wave source and an observer, then compare the emitted and received signals to see how motion changes the arriving wave crests.

Slide along a logarithmic wavelength ruler to read wavelength, frequency and photon energy across seven electromagnetic regions, each with examples.

Place U, B, V, R, atmosphere or custom filters on an optical bench and see how they combine to shape the detected spectrum.

Lebar ekuivalen garis serapan terhadap kerapatan kolom: rezim linear, datar (jenuh), dan redaman; profil Voigt; serta menentukan N dan b dari garis Na I D dan Fe II, termasuk metode rasio doublet.

Fire photons of a chosen energy at a Bohr hydrogen atom to see which excite, ionize or pass through it, with an energy-level diagram and event log.

Watch a nail heat to 1800 K as its blackbody emission curve rises and its peak wavelength shifts.

Watch a star and planet circle a common center while absorption lines in a spectrum shift toward red and blue.

Aim a laser across the boundary between two media to see refraction, or total reflection past the critical angle.

Switch between continuous, emission and absorption spectra from 400 to 700 nm and vary spectral type and the elements present.

Galeri spektrum nyata: deret O–M, kelas luminositas, katai putih, bintang AGB dan karbon, supernova, kuasar dan galaksi, planet, udara Bumi dan lampu — dari UV sampai inframerah, dengan garis berlabel.

Choose aperture, eyepiece, focus and target (Moon, Saturn or a star cluster) to see how each changes the view.

Pola Airy dan cincin gelapnya, kriteria Rayleigh dan Sparrow untuk dua bintang, seeing atmosfer (r₀) dan rasio Strehl, serta frinji interferometer dua teleskop dengan visibilitas dan jejak uv.

Hitung massa udara X(z), buat garis Bouguer dari data fotometri semalam, dan lihat mengapa bintang yang terbenam tampak lebih merah.

Aim a telescope at a lamp, a gas cloud, or the gas in front of the lamp to see continuous, emission and absorption spectra.

Kurva Planck untuk berbagai suhu, hukum pergeseran Wien dan Stefan–Boltzmann, serta bagaimana filter fotometri dan indeks warna mengukur suhu bintang.

Gas elektron terdegenerasi, persamaan keadaan eksak Chandrasekhar, dan relasi massa–radius katai putih hingga batas 1,46 M☉, dibandingkan dengan Sirius B, 40 Eri B, dan Procyon B.

Bidang orbit vs bidang langit dalam 3-D, orbit tampak dengan sudut posisi dan separasi, konstanta Thiele–Innes, serta vektor dan kurva kecepatan radial.

Bandingkan orbit lokal pendamping dengan sinyal bergeser fase yang diterima Bumi akibat perubahan jarak tempuh cahaya.

Massa dan umur menumbuhkan irisan bawang: inti serta cangkang yang sedang terbakar, dan reaksi fusi di lapisan yang diklik.

Mekanisme κ, kurva cahaya, kecepatan radial, suhu dan jari-jari selama satu siklus, metode Baade–Wesselink, relasi periode–kerapatan, dan hukum periode–luminositas untuk menghitung jarak.

Selesaikan persamaan Lane–Emden untuk indeks n mana pun, bandingkan profil kerapatan, tekanan, suhu, dan massa, lalu hitung kondisi pusat bintang nyata dan relasi massa–jari-jari termasuk massa Chandrasekhar.

Atur inklinasi dan fase orbit dua bintang mengelilingi pusat massanya, lalu lihat gerhana primer dan sekunder muncul pada kurva cahaya.

Peluruhan ⁵⁶Ni → ⁵⁶Co → ⁵⁶Fe menyalakan supernova: model Arnett dan aturan Arnett untuk Tipe Ia, relasi Phillips sebagai lilin standar dan kalkulator jarak, serta plato Tipe II-P yang turun ke ekor kobalt.

Two bodies of adjustable mass and separation balance about their center of mass.

Play the proton-proton chain: hydrogen nuclei fuse to deuterium, then helium-3, then helium-4, releasing positrons, neutrinos and gamma rays.

Play the six reactions of the carbon-nitrogen-oxygen cycle, where carbon-12 captures protons and is regenerated as helium-4 is released.

Drag a crosshair across the Hertzsprung-Russell diagram to read a star's radius, spectral class and magnitude beside a Sun-sized comparison.

Mengapa kekuatan garis serapan bergantung pada suhu: eksitasi Boltzmann dikali ionisasi Saha. Garis Balmer memuncak dekat 10.000 K, Ca II H & K mendominasi Matahari, dan tangga ionisasi H, He, Mg, Ca, Fe.

Peta massa Jeans terhadap kerapatan dan suhu dengan fase-fase medium antarbintang, keseimbangan virial dan keruntuhan jatuh bebas homolog, serta fragmentasi hierarkis hingga batas opasitas.

Bintang panas mengionisasi awan hidrogen: jari-jari Strömgren dari keseimbangan foton pengion dan rekombinasi, fraksi netral di sekitar front ionisasi yang tajam, penskalaan terhadap Q dan n, serta pembentukan dan ekspansi Spitzer daerah H II.

Vary two stars' masses, radii, temperatures and orbit to reshape an eclipse light curve, overlaid with noisy simulated measurements.

Change a bulb's power and drag a detector along a ruler to see flux follow F = P/4πr².

Type a parallax angle, a distance in parsecs or a distance in light-years and the other two values appear.

Pick a spectral type, luminosity class and apparent magnitude to estimate a star's absolute magnitude and distance.

Choose a spectral type and radius to see a star's size and color and compute its luminosity from the Stefan-Boltzmann law.

Hold apparent magnitude, absolute magnitude or distance fixed and see how the others follow m − M = 5 log₁₀(d/10 pc).

Enter an H-alpha wavelength, proper motion and distance to compute a star's radial, tangential and total space velocity.

Ikuti muka gelombang jet relativistik untuk memahami gerak semu yang melebihi cahaya tanpa melanggar relativitas.

Diagram Minkowski dengan transformasi Lorentz, relativitas simultanitas, dilatasi waktu, kontraksi panjang, sinyal superluminal (antitelepon), paradoks kembar, serta Doppler relativistik dan efek lampu sorot.

Keseimbangan tekanan radiasi dan gravitasi, massa minimum lubang hitam kuasar, efisiensi akresi dan waktu Salpeter, serta suhu dan spektrum benda hitam multiwarna piringan akresi tipis.

Potensial efektif relativistik, ISCO 6M (efisiensi 5,7%), bola foton 3M dan parameter impak kritis, orbit roset dengan presesi periapsis yang diintegrasikan RK4 (Merkurius 43″/abad), serta pergeseran merah gravitasi dan laju jam (GPS, Matahari, Sgr A*).

Inspiral biner kompak orde terdepan: massa chirp, f(t) dan h(t), waktu menuju penggabungan, jumlah siklus, membaca massa chirp dari f dan laju perubahannya, massa terpergeser merah, serta kurva sensitivitas LIGO (perkiraan). Preset GW150914 dan GW170817.

Bandingkan jarak comoving, jarak proper saat cahaya dipancarkan, jarak tempuh cahaya, jarak luminositas, dan jarak diameter sudut pada berbagai model alam semesta, lengkap dengan diagram ruang-waktu dan grid comoving.

Uji model alam semesta dengan supernova Tipe Ia sintetis: cocokkan H₀ dan percepatan ekspansi, lihat kontur Ωm–ΩΛ, bias Malmquist, kecepatan peculiar, dan galat tangga jarak dari Cepheid.

Mengapa alam semesta menjadi transparan pada sekitar 3000 K: persamaan Saha dan model Peebles, spektrum benda hitam yang tergeser merah, fungsi visibilitas hamburan terakhir, dan dipol CMB akibat gerak kita.

Mengapa helium-4 sekitar 25% massa: pembekuan rasio neutron/proton, peluruhan neutron, hambatan deuterium, serta kelimpahan D, He, dan Li terhadap rasio baryon-foton.

Gelombang suara plasma foton–baryon yang membeku saat zaman drag menjadi penggaris standar: lihat riak awal, ukur D_M/r_d dan D_H/r_d terhadap data BOSS/eBOSS, dan pengaruh ωm, ωb, serta N_eff pada r_d.

Cocokkan kurva rotasi galaksi dengan bulge, cakram bintang, gas, dan halo materi gelap (NFW atau isotermal), lihat massa terlingkup, dan bandingkan dengan MOND serta gravitasi Newton tanpa halo.

Ikuti episiklus bintang, lihat lengan material tergulung oleh rotasi diferensial, dan saksikan bintang mengalir melewati pola gelombang kerapatan yang berotasi kaku beserta resonansi Lindblad dan korotasi.

Luncurkan bintang dalam potensial batang yang berotasi: peta potensial efektif, kurva kecepatan nol, titik Lagrange, keluarga orbit x1, x2, dan x4, irisan Poincaré, serta resonansi batang.

Bandingkan orbit kotak dan orbit lingkar dalam potensial pipih, baca irisan Poincaré, uji apakah kepipihan berasal dari rotasi atau anisotropi pada diagram V/σ, dan hitung profil dispersi kecepatan dari persamaan Jeans.

Faktor skala sebagai bola yang menggelinding dalam potensial efektif: lihat ekspansi abadi, Big Crunch, pantulan tanpa Big Bang, dan loitering Lemaître pada peta nasib alam semesta.

Jari-jari Hubble komoving yang menyusut selama inflasi: skala keluar dan masuk kembali ke horizon, kerucut cahaya dua titik CMB yang berseberangan pada diagram konformal, dan masalah kerataan.

Lihat kapan sebuah mode fluktuasi masuk kembali ke horizon, mengapa pertumbuhannya macet di era radiasi (efek Mészáros), dan bagaimana hal itu membentuk puncak spektrum daya materi.

Inflaton menggelinding menuruni potensialnya: parameter slow-roll, akhir inflasi, prediksi indeks spektral dan rasio tensor-skalar dibandingkan data CMB, serta solusi eksak.

Inflate a balloon with coins on it: distances grow, coins do not, and Hubble's law emerges.

Raise the redshift z from 0 to 1 and watch the M32 galaxy's spectrum shift to longer wavelengths, changing the light each U, B, V and R filter passes.

Set a supernova's year and an observer's distance, then watch its light travel to find when the observer sees it.

Drag a point along the Milky Way rotation curve to read orbital speed at a galactic radius and the mass estimate that follows.

Watch a tractor hold still on a scrolling road while faster vehicles pass, an illustrative picture of relative speed and flow = density × speed.

Ubah relasi astronomi nyata antara sumbu linear dan logaritmik untuk menyingkap hukum pangkat, kemiringan, dan sebaran.

Cari periode bintang variabel dari fotometri yang tidak merata: periodogram Lomb–Scargle, jendela spektral dan alias harian, resolusi frekuensi, peluang alarm palsu, PDM, dan pelipatan fase. Termasuk jebakan biner gerhana (puncak di P/2) dan prewhitening bintang dua mode.

Fit garis lurus berbobot dengan batang galat, χ² dan χ² tereduksi, elips kovarians parameter, residu, serta perambatan ketidakpastian (aturan linear vs Monte Carlo) pada modulus jarak, Kepler III, jari-jari Stefan–Boltzmann, paralaks dan massa.

Perkalian silang sebagai alat: luas dan aturan tangan kanan dalam 3D, volume tripel, L = r × p dan Hukum Kepler II (juring luas sama), torsi dL/dt = τ yang diperiksa secara numerik, presesi gasing, serta momentum sudut orbit dan rotasi Bumi.

Selidiki perubahan energi kinetik, potensial, dan termal pada bidang miring, pelontar pegas, dan benda yang didorong. Hubungkan luas grafik gaya dengan usaha dan neraca energi.

Bandingkan tumbukan lenting, tidak lenting, menyatu, dan benda yang saling menjauh. Ubah massa, kecepatan, dan restitusi; periksa momentum, impuls, energi, serta kerangka pusat massa.

Hubungkan gerak benda dengan tiga grafik waktu: diam, gerak seragam, percepatan, pembalikan arah, dua bola jatuh, lemparan vertikal, osilasi pegas, dan hambatan udara. Selidiki kemiringan, luas bertanda, jarak dan perpindahan.

Vektor satuan polar r̂, θ̂ dan bola r̂, θ̂, φ̂ ikut berputar bersama benda: dari situ muncul suku sentripetal dan Coriolis, kekekalan r²θ̇ pada orbit Kepler, kutub yang singular, dan kerangka berputar.

Bilangan kompleks sebagai titik: perkalian = putar + skala, rumus Euler dari deret Taylor, akar ke-n, peta konformal z², 1/z, e^z, log dan potongan cabang, serta posisi orbit sebagai bilangan kompleks.

Cocokkan garis ke data bergalat dengan meminimalkan χ²: residu dalam σ, kontur Δχ² untuk galat parameter, χ² tereduksi dan nilai p, pengaruh pencilan dan skala galat, serta uji Monte Carlo.

Deret 1/|r − r'| dalam polinom Legendre: monopol, dipol, kuadrupol; galat pemotongan log–log, J₂ planet pepat, dan presesi simpul serta orbit sinkron-Matahari.

Peluang sebagai derajat keyakinan: posterior ∝ likelihood × prior. Uji deteksi bintang variabel pada 10.000 objek, koin dengan prior Beta, magnitudo bintang dengan prior Gauss, dan laju foton dengan prior Gamma; posterior menyempit ∝ 1/√N.

Gradien menunjuk ke atas bukit, ekstrem di ∇f = 0 dan uji Hessian, batas langkah penurunan gradien, ekstrem berkendala ∇f = λ∇g dengan λ sebagai kepekaan, serta titik L1, orbit berenergi tetap dan kuadrat terkecil.

Arah yang hanya diregangkan matriks: polinomial karakteristik, sumbu utama matriks simetris (elips galat, tensor inersia 3×3), pangkat Aⁿ dan klasifikasi stabilitas di bidang trace–determinan, serta mode normal dua osilator terkopel dengan layangan.

Logaritma mengubah perkalian menjadi penjumlahan: penggaris geser, skala magnitudo Pogson, menjumlahkan bintang, penguatan teleskop, plot log–log dan semilog, modulus jarak, desibel dan rentang dinamis CCD.

Integral dari bilangan acak: estimasi π, galat ∝ 1/√N di dimensi berapa pun (volume bola d-dimensi vs grid), importance sampling, dan jalan acak foton dengan kedalaman optis τ.

Periksa konsistensi rumus lewat dimensi M, L, T, Θ, turunkan hukum dengan menyelesaikan sistem linear eksponen, temukan grup tak berdimensi Buckingham Π, dan konversi satuan astronomi berantai serta taksiran Fermi.

Pecah daerah menjadi elemen dx dy dz, ρ dρ dφ dz atau r² sin θ dr dθ dφ, isi elemen demi elemen, dan lihat jumlah Riemann menuju integral eksak, lengkap dengan massa bintang dan sudut ruang tudung bola.

Rotasi sebagai matriks 3×3: kolom = bayangan vektor basis, urutan komposisi (ekstrinsik vs intrinsik), gimbal lock sudut Euler, dan transformasi ekuator ↔ ekliptika ↔ horizon.

Integral sebagai limit jumlah irisan: aturan kiri, kanan, tengah, trapesium dan Simpson, laju galat N^-p pada grafik log-log, galat pembulatan, singularitas dan aliasing, serta integral Stefan-Boltzmann π⁴/15 lewat pemotongan atau substitusi x = tan u.

Satu titik dalam tiga sistem koordinat: konversi langsung, permukaan dan kurva koordinat, basis lokal dengan faktor skala, serta jebakan konvensi sudut di astronomi (θ vs δ vs ketinggian, AR vs sudut jam).

Vektor sebagai panah dan komponen: penjumlahan, vektor satuan, perkalian titik sebagai proyeksi, perkalian silang sebagai luas (dengan momentum sudut dan Hukum Kepler II), dan hasil kali tripel sebagai volume bertanda.

Jumlahkan cincin-cincin kulit bola untuk membuktikan bahwa di luar kulit gaya seperti massa titik dan di dalamnya nol; medan bola pejal, mengapa harus kuadrat terbalik, dan terowongan gravitasi 84 menit.

Bangun polinom Taylor dari turunan di satu titik, lihat galatnya mengecil dengan orde dan membesar dengan jarak, jari-jari konvergensi, serta seberapa akurat jalan pintas olimpiade sinθ≈θ dan (1+x)^α≈1+αx pada paralaks, pasang surut dan faktor Lorentz.

Medan arah, metode Euler, RK2 dan RK4, orde galat dan kestabilan, lalu integrator simplektik (leapfrog) untuk orbit Kepler dan langkah adaptif untuk komet mirip Halley.

Vektor tetap, komponennya bergantung pada basis: matriks P dan P⁻¹, basis miring vs ortonormal, basis dual, peta linear sebagai deformasi kisi, dan vektor eigen — dengan elips kovarians dan basis perifokal orbit.

Bangun dΩ = sinθ dθ dφ = dA cosψ/r² dengan mengiris dan menjumlahkan: tudung bola, cakram miring, medan pandang detektor, serta Matahari, Bulan, deg² dan piksel.

Hitung I = ∫r⊥² dm dan pusat massa sebagai jumlah irisan, cincin, dan kulit; teorema sumbu sejajar; dan apa arti I/MR² bagi Bumi, Bulan, Jupiter, dan Matahari.

Rata-rata banyak sampel menjadi kurva Gauss: galat baku σ/√n, aturan 68–95–99,7, nilai p dan ambang 5σ, cacah Poisson dan derau foton √N, serta kegagalannya pada distribusi Cauchy.

Gradien, divergensi, dan curl sebagai limit fluks dan sirkulasi pada kotak kecil; hukum Gauss untuk gravitasi, titik Lagrange sebagai ∇Φ_eff = 0, dan medan pasang surut.

Bilangan kompleks sebagai panah berputar, rumus Euler, sintesis episikel gelombang kotak dengan fenomena Gibbs, koefisien Fourier sebagai proyeksi, Parseval, sampling Nyquist, DFT, dan alias 1 hari pada kurva cahaya Cepheid.

Change a ball's size and distance and compare its angular diameter with the small-angle approximation in arcseconds.

Compare a continuously turning wheel with the same wheel sampled at discrete exposures, where it can appear to turn backward or stand still.