2.9 1.9. Parabola dan Hiperbola

Tujuan Pembelajaran

Mendefinisikan parabola dan hiperbola secara geometris
Menurunkan persamaan kartesius dan polar untuk parabola dan hiperbola
Menjelaskan sifat reflektif parabola dan asimtot hiperbola
Mengaplikasikan persamaan untuk orbit terbuka dan lintasan terbang ruang angkasa

Ide Pokok

Parabola: tempat kedudukan titik-titik dengan jarak sama ke fokus dan direktriks
Persamaan kartesius parabola: $y = \frac{1}{4f}x^2$ dengan $f$ = jarak fokus ke vertex
Persamaan polar parabola: $r = \frac{p}{1+\cos\theta}$ dengan $e = 1$
Hiperbola: tempat kedudukan titik-titik dengan selisih mutlak jarak ke dua fokus konstan
Persamaan kartesius hiperbola: $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$
Persamaan polar hiperbola: $r = \frac{a(e^2-1)}{1+e\cos\theta}$ dengan $e > 1$
Asimtot hiperbola: $y = \pm\frac{b}{a}x$

Parabola

Parabola adalah kurva bidang yang dihasilkan oleh himpunan semua titik yang memiliki jarak yang sama dari sebuah titik (fokus $F$ ) dan sebuah garis lurus (direktriks).

Definisi matematis:

|PF| = \text{jarak dari } P \text{ ke direktriks}

Parameter Parabola

Vertex ( $V$ ): titik di mana parabola memotong sumbu simetri
Fokus ( $F$ ): titik tetap di dalam parabola
Latus rectum ( $p$ ): garis sejajar direktriks melalui fokus, panjangnya $2p$
Focal length ( $f$ ): jarak dari vertex ke fokus, $f = \frac{p}{2}$

Persamaan Kartesius Parabola

Untuk parabola dengan vertex di origin, membuka ke atas:

\boxed{y = \frac{1}{4f}x^2 = \frac{1}{2p}x^2}

Atau dalam bentuk standar:

\boxed{x^2 = 4fy}

Persamaan Polar Parabola

Dengan fokus di origin, terbuka ke $x$ -positif:

\boxed{r = \frac{p}{1 + \cos\theta} = \frac{2f}{1 + \cos\theta}}

Sifat Reflektif Parabola

Parabola memiliki sifat reflektif yang penting:

Cahaya yang masuk sejajar sumbu simetri dipantulkan menuju fokus.

Aplikasi: cermin parabola teleskop, antena satelit, reflektor lampu.

Hiperbola

Hiperbola adalah himpunan titik-titik sehingga untuk setiap titik $P$ , selisih mutlak antara jarak ke dua fokus adalah konstan.

Definisi matematis:

\boxed{||PF_1| - |PF_2|| = 2a}

di mana $2a$ adalah konstanta yang lebih kecil dari jarak antar fokus.

Parameter Hiperbola

Sumbu semi-mayor ( $a$ ): parameter utama hiperbola
Sumbu semi-minor ( $b$ ): parameter sekunder
Jarak fokus ( $c$ ): $c^2 = a^2 + b^2$ (berbeda dengan elips!)
Eksentrisitas: $e = c/a > 1$
Asimtot: garis yang didekati hiperbola di tak hingga

Persamaan Kartesius Hiperbola

Untuk hiperbola dengan pusat di origin:

\boxed{\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1}

Hubungan parameter:

c^2 = a^2 + b^2 \quad \Rightarrow \quad e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}}

Asimtot Hiperbola

Hiperbola memiliki dua asimtot yang didekati ketika $x, y \to \infty$ :

\boxed{y = \pm\frac{b}{a}x}

Diagram hiperbola dengan dua asimtot yang berpotongan di pusat, menunjukkan bagaimana cabang hiperbola mendekati garis asimtot seiring menjauh dari pusat — **Gambar 2.31.** **Gambar 1.32.** Hiperbola dengan asimtot $y = \pm\frac{b}{a}x$ . Cabang hiperbola mendekati asimtot di tak hingga.

Persamaan Polar Hiperbola

Dengan fokus di origin:

\boxed{r = \frac{a(e^2 - 1)}{1 + e\cos\theta}}

di mana $e > 1$ .

Hubungan dengan elips: Hiperbola adalah “elips dengan $a$ negatif” dalam beberapa formulasi.

Contoh 2.9.1 Orbit Parabola Komet

Sebuah komet mendekati Matahari dengan lintasan parabola. Jika jarak perihelion (terdekat ke Matahari) adalah $2$ SA, tentukan persamaan polar lintasan komet dan jarak komet saat $\theta = 90°$ .

►Petunjuk

Untuk parabola, perihelion terjadi di $\theta = 0°$ . Gunakan $r = \frac{p}{1+\cos\theta}$ .

►Solusi

Untuk parabola dengan fokus di origin (Pers. ??):

r = \frac{p}{1 + \cos\theta}

Di perihelion ( $\theta = 0°$ ):

r_{min} = \frac{p}{1 + 1} = \frac{p}{2} = 2 \text{ SA}

p = 4 \text{ SA}

Persamaan polar:

\boxed{r = \frac{4}{1 + \cos\theta}} \text{ SA}

Saat $\theta = 90°$ :

r = \frac{4}{1 + 0} = 4 \text{ SA}

Hasil:

Persamaan: $r = \frac{4}{1+\cos\theta}$ SA
Jarak di $\theta = 90°$ : $r = 4$ SA

Quiz for subchapter 33

5 soal

2.9.1 Definisi Parabola dan Hiperbola

Bandingkan definisi geometris parabola dan hiperbola. Jelaskan mengapa parabola memiliki satu fokus sementara hiperbola memiliki dua fokus.

►Jawaban

Parabola: jarak sama ke fokus dan direktriks. Hiperbola: selisih mutlak jarak ke dua fokus konstan. Parabola memiliki satu fokus karena definisi melibatkan direktriks (garis), hiperbola memiliki dua fokus karena definisi melibatkan dua titik.

►Solusi Lengkap

Definisi Perbandingan:

Parabola:

Definisi: himpunan titik dengan jarak sama ke fokus dan direktriks (garis)
Memerlukan satu titik (fokus) dan satu garis (direktriks)
Batas kasus antara elips dan hiperbola ( $e = 1$ )
Fokus di “dalam” kurva, direktriks di “luar”

Hiperbola:

Definisi: himpunan titik dengan selisih mutlak jarak ke dua fokus konstan
Mirip dengan elips (jumlah jarak konstan) tetapi dengan selisih, bukan jumlah
Memiliki dua cabang yang terpisah
Kedua fokus di “dalam” masing-masing cabang

Mengapa jumlah fokus berbeda:

Parabola: definisi melibatkan titik dan garis (asimetris)
Hiperbola: definisi melibatkan dua titik (simetris, seperti elips)

2.9.2 Sifat Asimtot Hiperbola

Jelaskan konsep asimtot untuk hiperbola dan tuliskan persamaannya. Mengapa konsep asimtot tidak relevan untuk parabola?

►Jawaban

Asimtot hiperbola adalah garis yang didekati hiperbola di tak hingga: $y = \pm\frac{b}{a}x$ . Parabola tidak memiliki asimtot karena membuka tanpa batas dengan kelengkungan yang terus berubah.

►Solusi Lengkap

Asimtot Hiperbola:

Asimtot adalah garis lurus yang didekati oleh kurva ketika $x \to \infty$ atau $x \to -\infty$ .

Untuk hiperbola $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ :

y = \pm\frac{b}{a}x

Mengapa parabola tidak memiliki asimtot:

Parabola membuka ke satu arah (atas/bawah atau kiri/kanan)
Kelengkungan parabola terus berubah — tidak mendekati garis lurus
Secara matematis: tidak ada garis lurus yang menjadi limit $y/x$ untuk parabola

Konsekuensi orbit:

Hiperbola: benda mendekati garis lurus di tak hingga (asimtot = arah awal/akhir)
Parabola: benda selalu “membelok” meskipun semakin landai

Sebelumnya

1.8. Lingkaran dan Elips

Berikutnya

1.10. Orbit Lingkaran dan Elips

Demo: Blocks Showcase