2.5 Teorema Virial

1.5. Hukum Newton dan Gravitasi Universal

Tujuan Pembelajaran

Menjelaskan tiga Hukum Gerak Newton dan aplikasinya pada gerak orbit
Mendeskripsikan Hukum Gravitasi Universal Newton dan konstanta gravitasi $G$
Menurunkan percepatan gravitasi $g$ dari Hukum Gravitasi Universal
Menghitung massa Matahari menggunakan data orbit Bumi

Ide Pokok

Hukum I Newton: benda mempertahankan keadaan geraknya kecuali ada gaya eksternal (inersia)
Hukum II Newton: $\vec{F} = m\vec{a} = \frac{d\vec{p}}{dt}$ — gaya sama dengan laju perubahan momentum
Hukum III Newton: aksi-reaksi — gaya selalu berpasangan dengan besar sama, arah berlawanan
Hukum Gravitasi Universal: $F = \frac{Gm_1m_2}{r^2}$ — setiap massa menarik massa lain
Konstanta gravitasi: $G = 6{,}674 \times 10^{-11} \text{ N m}^2 \text{ kg}^{-2}$ (diukur oleh Cavendish, 1798)
Massa Matahari: $M_\odot \approx 2{,}0 \times 10^{30}$ kg

Hukum Gerak Newton

Isaac Newton (1643–1727) merumuskan tiga hukum gerak fundamental dalam karyanya Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica (1687).

Hukum I Newton: Inersia

Hukum I Newton: Suatu benda yang diam akan tetap diam, dan benda yang bergerak lurus dengan kecepatan konstan akan tetap sama gerakannya, kecuali terdapat resultan gaya eksternal bekerja pada benda tersebut.

Diagram ilustrasi Hukum I Newton menunjukkan objek yang tetap diam atau bergerak lurus dengan kecepatan konstan tanpa gaya eksternal — **Gambar 2.17.** **Gambar 1.17.** Hukum I Newton (Hukum Inersia): benda mempertahankan keadaan geraknya tanpa gaya eksternal.

Implikasi untuk gerak orbit:

Tanpa gravitasi, planet akan bergerak lurus dengan kecepatan konstan (garis lurus menyinggung orbit)
Gravitasi Matahari menyediakan gaya sentripetal yang mengubah arah gerak planet menjadi orbit melengkung

Hukum II Newton: Gaya dan Percepatan

Hukum II Newton: Resultan gaya pada suatu benda sama dengan percepatan benda dikalikan dengan massanya.

\boxed{\vec{F} = m\vec{a}}

Bentuk lebih umum untuk massa yang berubah:

\vec{F} = \frac{d\vec{p}}{dt} = \frac{d}{dt}\left(m\vec{v}\right)

Gaya adalah laju perubahan momentum. Untuk massa konstan, ini berkurang ke $\vec{F} = m\vec{a}$ .

Diagram ilustrasi Hukum II Newton menunjukkan hubungan antara gaya, massa, dan percepatan dengan vektor-vektor yang sesuai — **Gambar 2.18.** **Gambar 1.18.** Hukum II Newton: gaya menyebabkan perubahan momentum (percepatan berbanding lurus dengan gaya, berbanding terbalik dengan massa).

Hukum III Newton: Aksi-Reaksi

Hukum III Newton: Ketika objek A memberikan gaya pada objek B (aksi), maka objek B memberikan gaya pada objek A dengan besar yang sama dan arah yang berlawanan (reaksi).

\vec{F}_{AB} = -\vec{F}_{BA}

Diagram roket yang mengilustrasikan Hukum III Newton dengan gaya dorong ke bawah dari roket dan gaya reaksi ke atas yang mendorong roket — **Gambar 2.19.** **Gambar 1.19.** Hukum III Newton (Aksi-Reaksi): gaya selalu berpasangan. Roket mendorong gas ke bawah, gas mendorong roket ke atas.

Gaya selalu berpasangan! Ini berlaku untuk gravitasi juga:

Matahari menarik Bumi dengan gaya $F$
Bumi menarik Matahari dengan gaya $F$ yang sama (tetapi efek percepatan berbeda karena massa berbeda)

Hukum Gravitasi Universal

Newton menyadari bahwa gaya yang menyebabkan apel jatuh ke tanah adalah gaya yang sama yang menjaga planet-planet di orbit mereka.

Hukum Gravitasi Universal Newton: Setiap titik massa menarik titik massa lainnya dengan gaya yang bekerja sepanjang garis hubung kedua titik tersebut. Gaya tersebut sebanding dengan perkalian massa keduanya dan berbanding terbalik kuadrat jarak di antaranya.

\boxed{F = \frac{Gm_1m_2}{r^2}}

Konstanta Gravitasi $G$

Konstanta $G$ disebut konstanta gravitasi Newton:

\boxed{G = 6{,}674 \times 10^{-11} \text{ N m}^2 \text{ kg}^{-2}}

Eksperimen pertama pengukuran $G$ dilakukan oleh Henry Cavendish (1798) menggunakan neraca torsi. Sebelum Cavendish, nilai $G$ tidak diketahui, tetapi rasio massa planet masih bisa dihitung.

Aplikasi: Percepatan Gravitasi dan Massa Matahari

Percepatan Gravitasi di Permukaan Bumi

Dari Pers. ??, percepatan gravitasi di jarak $r$ dari pusat massa $M$ :

g = \frac{GM}{r^2}

Di permukaan Bumi ( $r = R_\oplus$ ):

\boxed{g = \frac{GM_\oplus}{R_\oplus^2} \approx 9{,}8 \text{ m/s}^2}

Menghitung Massa Matahari

Mekanika Newton menjelaskan bahwa gaya yang menjaga planet-planet di orbit mengelilingi Matahari adalah gaya gravitasi antara massa planet dan Matahari.

Untuk Bumi mengorbit Matahari dengan kecepatan $v$ dan radius $r$ :

\begin{align} F_g &= F_c \notag \\ \frac{GM_\odot m_\oplus}{r^2} &= \frac{m_\oplus v^2}{r} \notag \end{align}

Dengan $v = \frac{2\pi r}{T}$ (kecepatan orbit lingkaran):

\boxed{M_\odot = \frac{v^2r}{G} = \frac{4\pi^2r^3}{GT^2} \approx 2{,}0 \times 10^{30} \text{ kg}}

Ini adalah salah satu pencapaian terbesar mekanika Newton: menghitung massa Matahari dari data orbit Bumi yang dapat diamati!

Bentuk Vektor Hukum Gravitasi

Untuk perhitungan orbit yang presisi, bentuk vektor diperlukan:

\boxed{\vec{F}_{21} = -G\frac{m_1m_2}{|\vec{r}_{21}|^2}\hat{r}_{21}}

Keterangan:

$\vec{F}_{21}$ : gaya pada benda 2 yang dikerjakan oleh benda 1
$\vec{r}_{21} = \vec{r}_2 - \vec{r}_1$ : vektor dari benda 1 ke 2
$\hat{r}_{21} = \frac{\vec{r}_{21}}{|\vec{r}_{21}|}$ : vektor satuan dari benda 1 ke 2
Tanda negatif: gaya bersifat tarik-menarik (arah berlawanan dengan $\hat{r}_{21}$ )

Dari persamaan ini, terlihat bahwa:

\vec{F}_{21} = -\vec{F}_{12}

Sesuai Hukum III Newton.

Diagram vektor gaya gravitasi antara dua benda massa menunjukkan vektor posisi, vektor satuan, dan arah gaya tarik-menarik — **Gambar 2.20.** **Gambar 1.20.** Bentuk vektor Hukum Gravitasi Universal. Gaya $\vec{F}_{21}$ pada benda 2 dikerjakan oleh benda 1, bekerja sepanjang garis hubung.

Contoh 2.5.1 Menghitung Gaya Gravitasi Bumi-Bulan

Hitung besar gaya gravitasi antara Bumi dan Bulan. Gunakan data: massa Bumi $M_\oplus = 5{,}97 \times 10^{24}$ kg, massa Bulan $M_\text{bulan} = 7{,}35 \times 10^{22}$ kg, jarak Bumi-Bulan $r = 3{,}84 \times 10^8$ m, dan $G = 6{,}674 \times 10^{-11}$ N m $^2$ kg $^{-2}$ .

►Petunjuk

Gunakan Hukum Gravitasi Universal (Pers. ??) secara langsung.

►Solusi

Dari Hukum Gravitasi Universal:

\begin{align} F &= \frac{GM_\oplus M_\text{bulan}}{r^2} \notag \\ F &= \frac{(6{,}674 \times 10^{-11})(5{,}97 \times 10^{24})(7{,}35 \times 10^{22})}{(3{,}84 \times 10^8)^2} \notag \\ F &= \frac{2{,}93 \times 10^{37}}{1{,}47 \times 10^{17}} \notag \\ F &\approx 1{,}98 \times 10^{20} \text{ N} \end{align}

Hasil: Gaya gravitasi Bumi-Bulan adalah sekitar $2{,}0 \times 10^{20}$ N.

Perbandingan: Gaya ini menyebabkan percepatan Bulan:

a_\text{bulan} = \frac{F}{M_\text{bulan}} \approx 2{,}7 \times 10^{-3} \text{ m/s}^2

Contoh 2.5.2 Verifikasi Percepatan Gravitasi Bumi

Verifikasi bahwa percepatan gravitasi di permukaan Bumi adalah $\sim 9{,}8$ m/s $^2$ menggunakan data: $G = 6{,}674 \times 10^{-11}$ N m $^2$ kg $^{-2}$ , $M_\oplus = 5{,}97 \times 10^{24}$ kg, dan $R_\oplus = 6{,}37 \times 10^6$ m.

►Petunjuk

Gunakan rumus $g = \frac{GM_\oplus}{R_\oplus^2}$ .

►Solusi

\begin{align} g &= \frac{GM_\oplus}{R_\oplus^2} \notag \\ g &= \frac{(6{,}674 \times 10^{-11})(5{,}97 \times 10^{24})}{(6{,}37 \times 10^6)^2} \notag \\ g &= \frac{3{,}98 \times 10^{14}}{4{,}06 \times 10^{13}} \notag \\ g &\approx 9{,}81 \text{ m/s}^2 \end{align}

Hasil: Percepatan gravitasi di permukaan Bumi adalah $g \approx 9{,}81$ m/s $^2$ , cocok dengan nilai yang diukur secara eksperimental.

Quiz for subchapter 19

5 soal

2.5.1 Hukum Newton dan Gerak Orbit

Jelaskan bagaimana Hukum I dan Hukum II Newton bersama-sama menjelaskan mengapa planet tetap berada di orbit melengkung mengelilingi Matahari, bukan bergerak lurus menjauh atau jatuh ke Matahari.

►Jawaban

Hukum I: tanpa gaya, planet akan bergerak lurus. Hukum II: gaya gravitasi Matahari menyediakan gaya sentripetal yang menyebabkan perubahan arah gerak (percepatan sentripetal), membentuk orbit melengkung.

►Solusi Lengkap

Analisis menggunakan Hukum Newton:

Hukum I Newton (Inersia):

Tanpa gaya eksternal, planet akan bergerak lurus dengan kecepatan konstan
Arah gerak akan menyinggung orbit pada setiap titik
Planet akan “melarikan diri” menjauhi Matahari

Hukum II Newton (Gaya dan Percepatan):

Gravitasi Matahari menyediakan gaya tarik ke arah Matahari
Gaya ini menyebabkan percepatan sentripetal yang mengubah arah kecepatan
Perubahan arah ini terus-menerus, membentuk lintasan melengkung (orbit)

Keseimbangan:

Jika gaya terlalu kecil: planet akan “melarikan diri” (orbit terbuka)
Jika gaya terlalu besar: planet akan jatuh ke Matahari
Dengan gaya yang tepat: orbit tertutup (lingkaran/elips) atau terbuka (parabola/hiperbola)

Hasil: Kombinasi gerak inersial (lurus) dan gaya gravitasi (tarik ke pusat) menghasilkan orbit melengkung.

2.5.2 Massa Matahari dari Data Orbit Bumi

Tunjukkan bagaimana massa Matahari dapat dihitung dari data orbit Bumi. Gunakan radius orbit $r = 1$ SA $= 1{,}496 \times 10^{11}$ m dan periode $T = 1$ tahun $= 3{,}156 \times 10^7$ s.

►Jawaban

$M_\odot = \frac{4\pi^2r^3}{GT^2} \approx 2{,}0 \times 10^{30}$ kg.

►Solusi Lengkap

Derivasi dan Perhitungan:

Untuk orbit lingkaran, gaya gravitasi menyediakan gaya sentripetal:

\frac{GM_\odot m}{r^2} = \frac{mv^2}{r}

Dengan $v = \frac{2\pi r}{T}$ :

\frac{GM_\odot}{r^2} = \frac{4\pi^2r}{T^2}

Menyelesaikan untuk $M_\odot$ :

M_\odot = \frac{4\pi^2r^3}{GT^2}

Substitusi nilai:

\begin{align} M_\odot &= \frac{4\pi^2(1{,}496 \times 10^{11})^3}{(6{,}674 \times 10^{-11})(3{,}156 \times 10^7)^2} \notag \\ M_\odot &= \frac{4\pi^2 \times 3{,}35 \times 10^{33}}{6{,}65 \times 10^{-11} \times 9{,}96 \times 10^{14}} \notag \\ M_\odot &\approx 1{,}99 \times 10^{30} \text{ kg} \end{align}

Hasil: Massa Matahari adalah sekitar $2{,}0 \times 10^{30}$ kg.

Signifikansi: Ini adalah salah satu pencapaian terbesar mekanika Newton — menghitung massa objek astronomis dari data gerak yang dapat diamati!

Sebelumnya

Kecepatan Orbital dan Persamaan Vis Viva

Berikutnya

1.6. Barycenter dan Sistem Dua Benda

Demo: Blocks Showcase