2.10 1.10. Orbit Lingkaran dan Elips

Tujuan Pembelajaran

Menurunkan rumus kecepatan orbit lingkaran dari kesetimbangan gaya gravitasi dan sentripetal
Menghitung energi total dan momentum sudut untuk orbit lingkaran dan elips
Menurunkan persamaan vis-viva untuk kecepatan orbit elips pada posisi arbitrer
Menjelaskan modifikasi Hukum III Kepler untuk massa planet yang tidak dapat diabaikan

Ide Pokok

Orbit lingkaran: kecepatan konstan $v = \sqrt{GM/r}$ , energi $E = -\frac{GMm}{2r}$
Orbit elips: kecepatan bervariasi, minimum di aphelion, maksimum di perihelion
Persamaan vis-viva: $v = \sqrt{GM\left(\frac{2}{r} - \frac{1}{a}\right)}$
Energi orbit elips: $E = -\frac{GMm}{2a}$ (hanya bergantung pada sumbu semi-mayor)
Momentum sudut konstan: $L = m\sqrt{GMa(1-e^2)}$
Hukum III Kepler modifikasi: $\frac{a^3}{T^2} = \frac{G(M+m)}{4\pi^2}$

Orbit Lingkaran

Orbit lingkaran adalah kasus khusus orbit elips dengan eksentrisitas $e = 0$ .

Kecepatan Orbit Lingkaran

Dari kesetimbangan gaya gravitasi dan gaya sentripetal:

\frac{GMm}{r^2} = \frac{mv^2}{r}

\boxed{v = \sqrt{\frac{GM}{r}}}

Diagram orbit lingkaran menunjukkan gaya gravitasi Fg menuju pusat dan kecepatan orbit v yang tegak lurus radius — **Gambar 2.32.** **Gambar 1.33.** Orbit lingkaran: gaya gravitasi menyediakan gaya sentripetal untuk gerak melingkar beraturan.

Energi Orbit Lingkaran

Energi total (kinetik + potensial):

\begin{align} E &= K + U \notag \\ E &= \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{r} \notag \\ E &= \frac{1}{2}m\left(\frac{GM}{r}\right) - \frac{GMm}{r} \notag \end{align}

\boxed{E = -\frac{GMm}{2r}}

Hubungan penting: $|E| = K = \frac{1}{2}|U|$ untuk orbit lingkaran.

Momentum Sudut Orbit Lingkaran

\boxed{L = mvr = m\sqrt{GMr}}

Orbit Elips

Untuk orbit elips, parameter bervariasi sepanjang orbit.

Kecepatan Orbit Elips (Persamaan Vis-Viva)

Kecepatan pada jarak $r$ dari fokus dalam orbit elips dengan sumbu semi-mayor $a$ :

\boxed{v = \sqrt{GM\left(\frac{2}{r} - \frac{1}{a}\right)}}

Ini adalah persamaan vis-viva, sangat penting dalam mekanika orbit.

Kasus khusus:

Perihelion ( $r = a(1-e)$ ): $v_{max} = \sqrt{\frac{GM}{a}\frac{1+e}{1-e}}$
Aphelion ( $r = a(1+e)$ ): $v_{min} = \sqrt{\frac{GM}{a}\frac{1-e}{1+e}}$

Energi Orbit Elips

Energi total orbit elips:

\boxed{E = -\frac{GMm}{2a}}

Catatan penting: Energi hanya bergantung pada $a$ , tidak pada $e$ !

Momentum Sudut Orbit Elips

Momentum sudut konstan sepanjang orbit:

\boxed{L = m\sqrt{GMa(1-e^2)}}

Hukum III Kepler Modifikasi

Untuk sistem di mana massa kedua benda sebanding, Hukum III Kepler menjadi:

\boxed{\frac{G(M+m)}{4\pi^2} = \frac{a^3}{T^2}}

Dengan satuan umum $a$ [SA], $T$ [tahun], $M, m$ [ $M_\odot$ ]:

\boxed{\frac{a^3}{T^2} = M + m}

Untuk orbit di sekitar Matahari dengan $m \ll M_\odot$ :

a^3 = T^2 \quad \text{(Hukum III Kepler sederhana)}

Contoh 2.10.1 Kecepatan Bumi di Perihelion dan Aphelion

Bumi memiliki eksentrisitas orbit $e = 0{,}017$ dan sumbu semi-mayor $a = 1$ SA. Hitung kecepatan Bumi di perihelion dan aphelion.

►Petunjuk

Gunakan persamaan vis-viva (Pers. ??) dengan $r_{peri} = a(1-e)$ dan $r_{aph} = a(1+e)$ .

►Solusi

Kecepatan orbit lingkaran Bumi: $v_0 = \sqrt{GM/a} \approx 29{,}8$ km/s

Perihelion ( $r = a(1-e) = 0{,}983$ SA):

v_{peri} = v_0\sqrt{\frac{1+e}{1-e}} = 29{,}8\sqrt{\frac{1{,}017}{0{,}983}} \approx 30{,}3 \text{ km/s}

Aphelion ( $r = a(1+e) = 1{,}017$ SA):

v_{aph} = v_0\sqrt{\frac{1-e}{1+e}} = 29{,}8\sqrt{\frac{0{,}983}{1{,}017}} \approx 29{,}3 \text{ km/s}

Hasil:

Perihelion: $v \approx 30{,}3$ km/s (Januari)
Aphelion: $v \approx 29{,}3$ km/s (Juli)
Variasi: sekitar $3{,}4\%$

Quiz for subchapter 34

5 soal

2.10.1 Persamaan Vis-Viva

Turunkan persamaan vis-viva $v = \sqrt{GM(2/r - 1/a)}$ dari konservasi energi untuk orbit elips.

►Jawaban

Dari $E = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{r} = -\frac{GMm}{2a}$ , selesaikan untuk $v$ .

►Solusi Lengkap

Derivasi persamaan vis-viva:

Energi total orbit elips (Pers. ??):

E = -\frac{GMm}{2a}

Energi total juga:

E = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{r}

Menyamaakan:

\frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{r} = -\frac{GMm}{2a}

Bagi dengan $m$ :

\frac{1}{2}v^2 - \frac{GM}{r} = -\frac{GM}{2a}

\frac{1}{2}v^2 = GM\left(\frac{1}{r} - \frac{1}{2a}\right) = GM\left(\frac{2a - r}{2ar}\right)

Lebih baik disusun ulang:

\frac{1}{2}v^2 = \frac{GM}{r} - \frac{GM}{2a} = GM\left(\frac{1}{r} - \frac{1}{2a}\right)

v^2 = 2GM\left(\frac{1}{r} - \frac{1}{2a}\right) = GM\left(\frac{2}{r} - \frac{1}{a}\right)

\boxed{v = \sqrt{GM\left(\frac{2}{r} - \frac{1}{a}\right)}}

2.10.2 Energi dan Parameter Orbit

Jelaskan mengapa energi total orbit elips hanya bergantung pada sumbu semi-mayor $a$ , tidak pada eksentrisitas $e$ .

►Jawaban

Energi orbit rata-rata kinetik dan potensial saling mengimbangi sedemikian rupa sehingga total hanya bergantung pada ukuran orbit ( $a$ ), tidak pada bentuk ( $e$ ).

►Solusi Lengkap

Mengapa energi hanya bergantung pada $a$ :

Intuisi fisika:

Sumbu semi-mayor $a$ menentukan “ukuran” orbit
Eksentrisitas $e$ hanya menentukan “bentuk” (lonjong atau bundar)
Energi adalah kuantitas skalar yang mengkarakterisasi “kedalaman” di dalam sumur gravitasi

Matematis:

Di perihelion: lebih dekat (potensial lebih negatif) tetapi lebih cepat (kinetik lebih besar)
Di aphelion: lebih jauh (potensial kurang negatif) tetapi lebih lambat (kinetik lebih kecil)
Rata-rata sepanjang orbit menghasilkan energi total yang sama untuk semua $e$ dengan $a$ sama

Implikasi: Untuk energi yang diberikan, banyak orbit elips dengan eksentrisitas berbeda mungkin — semua dengan $a$ yang sama.

Sebelumnya

1.9. Parabola dan Hiperbola

Berikutnya

1.11. Orbit Parabola dan Kecepatan Lepas

Demo: Blocks Showcase